Un problema che ho incontrato durante le mie gare matematiche è quello che voglio presentare oggi. Il problema mi è stato proposto parecchi anni fa, e non sono stato in grado di risolverlo. Solo successivamente ho trovato la strada giusta, e ancora più tardi ho seguito una nuova strada per giungere al risultato. Questa seconda strada è quella che ritengo possa essere usata per risolvere molti problemi anche complicati, ed è la via che invito ad imboccare ogni volta che il problema è molto laborioso. Vediamo allora il testo.

Scrivo in successione le frazioni aventi per numeratore 1, e denominatore da 2 a 2005, cioè 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… 1/2005. Ora faccio i prodotti di queste frazioni, prese a due a due, cioè 1/2*1/3, 1/2*1/4, 1/2*1/5… 1/2*1/2005; 1/3*1/4, 1/3*1/5, 1/3*1/6… 1/3*1/2005; 1/4*1/5, 1/4*1/6, 1/4*1/7… 1/4*1/2005; …; 1/2004*1/2005. Eseguo quindi i prodotti delle frazioni prese a tre a tre: 1/2*1/3*1/4, 1/2*1/3*1/5, 1/2*1/3*1/6… 1/2*1/3*1/2005; 1/3*1/4*1/5, 1/3*1/4*1/6… 1/3*1/4*1/2005; …; 1/2003*1/2004*1/2005. Poi moltiplico le frazioni iniziali prendendole a quattro a quattro. Vado così avanti fino a moltiplicare, alla fine, il prodotto di tutte le 2004 frazioni.
Ebbene: quanto fa la somma di tutte queste frazioni?

Soluzione
Prima soluzione.
Il problema mi sembra abbastanza complicato… vado quindi a cercare qualcosa di più semplice… di molto più semplice: faccio il calcolo supponendo che la mia unica frazione sia 1/2. In questo caso non ho da fare alcun calcolo, e la somma della mia frazione è 1/2.
Aggiungo una frazione: 1/3. Mi trovo ora a dover aggiungere alla somma precedente proprio 1/3, e poi tutti i risultati precedenti (in questo caso solo 1/2) moltiplicati per 1/3. Quindi devo aggiungere 1/3 e 1/2*1/3=1/6, cioè in totale 1/2. In tutto finora quindi ho totalizzato 1.
Aggiungo all’elenco la frazione 1/4, e al totale generale devo aggiungere 1/4 e tutti i risultati precedenti per 1/4, cioè (1/2 + 1/3 + 1/2*1/3)*1/4 = 1*1/4. In tutto aggiungo 1/2, ed il totale diventa 3/2.
Quindi fino a 1/2 il totale è 1/2; fino a 1/3 il totale è 2/2; fino a 1/4 il totale è 3/2… mi viene il sospetto che ogni volta la somma aumenta di 1/2, e quindi con il 2005 raggiungerò 2004/2=1002.

Questa era la dimostrazione “di quelle che piacciono a me”, passando ad un problema meno complicato e più facile da gestire di quello proposto, esaminando la situazione con poche frazioni. Però bisogna anche dare una dimostrazione rigorosa, e quindi penso di usare l’induzione, per dimostrare che se la somma di tutte le frazioni e prodotti di frazioni fino a 1/n vale (n-1)/2, allora la somma di tutte le frazioni e prodotti di frazioni fino a 1/(n+1) vale n/2.

Infatti S(n+1) = S(n) + 1/(n+1) + S(n) 1/(n+1)
= S(n) + 1/(n+1) + (n-1)/2 1/(n+1)
= S(n) + 1/(n+1) (1 + (n-1)/2)
= S(n) + 1/(n+1) (n+1)/2
= (n-1)/2 + 1/2 = n/2.

Seconda soluzione.
Questa era la soluzione che avevo trovata per prima, e non saprei dire se è più semplice o più complicata dell’altra… ora vedremo.
Ho pensato se ci fosse già in qualche parte della matematica una situazione nella quale ho fatto (oppure posso fare) tutti quei prodotti e poi tutte le somme richieste. Ho pensato che alla fine mi trovo a dover fare somme di tanti prodotti di uno, di due, di tre… fino a 2004 frazioni. Non mi veniva alcuna idea, per cui ho immaginato di dover fare somme di prodotti, sempre di 2004 fattori: eventualmente i fattori mancanti vengono sostituiti da tanti fattori 1. Allora ecco l’idea: costruisco il seguente polinomio
(1+1/2) (1+1/3) (1+1/4)… (1+1/2005),
composto da 2004 binomi.
Eseguo i calcoli e ottengo 3/2 * 4/3 * 5/4 * … * 2006/2005.
Semplifico e ottengo 2006/2 = 1003.
Ma se faccio tutti i prodotti dei binomi,
se prendo tutti i primi termini dei binomi, ottengo 1;
se prendo tutti i primi termini meno uno, ottengo la somma delle frazioni;
se prendo tutti i primi termini meno due, ottengo i prodotti delle frazioni a due a due;
se prendo tutti i primi termini meno tre, ottengo i prodotti delle frazioni a tre a tre…
In pratica sono tutti gli addendi che devo sommare, anzi, ce n’è uno in più, il primo, cioè 1, che devo togliere quindi dalla somma ottenuta. Siccome 1003-1 = 1002, ecco trovato il risultato.

È stato un po’ laborioso da spiegare, ma ritengo non sia stato neanche semplice da risolvere, per cui…